Asante said:

بوليهكه اندا منوليس دالم بهاس ايڠڬريس يڠ موده دفهمي؟ بهاس ايڠڬريس اداله بهاس لالاي مشاركت. جك اندا ايڠين برهوبوڠ دڠن كومونيتي، سيلا ترجمهكن ك دالم بهاس ايڠڬريس.

Could you please write in easy-to-understand English? English is the default language of the community. If you want to connect to the community, please translate to English.

https://translate.google.com/?sl=ms-Arab&tl=en&op=translate

---

langten69 said:

If only I knew what those words that I dont know mean


Dictionary time

---

Yoga

That is Grothendieck's yoga

Anabelian more specifically (Montonen-Olive, L-functions thus can be used to explore why magnetic dipoles are natural and monopoles aren't observed)

Quote:

Mon cher Ami,

J’ai fait en analyse plusieurs choses nouvelles.
Les unes concernent la théorie des Équations, les autres les fonctions Intégrales.
Dans la théorie des équations, j’ai recherché dans quels cas les équations étaient résolubles par des radicaux : ce qui m’a donné occasion d’approfondir cette théorie, et de décrire toutes les transformations possibles sur une équation lors même qu’elle n’est pas soluble par radicaux.
On pourra faire avec tout cela trois mémoires.
Le premier est écrit, et malgré ce qu’en a dit Poisson, je le maintiens avec les corrections que j’y ai faites.
Le second contient des applications assez curieuses de la théorie des équations. Voici le résumé des choses les plus importantes :

1. D’après les propositions II et III du 1er Mémoire, on voit une grande différence entre adjoindre à une équation une des racines d’une équation auxiliaire, ou les adjoindre toutes.

Dans les deux cas le groupe de l’équation se partage par l’adjonction en groupes tels que l’on passe de l’un à l’autre par une même substitution. Mais la condition que ces groupes aient les mêmes substitutions n’a lieu certainement que dans le second cas. Cela s’appelle la décomposition propre.
En d’autres termes, quand un groupe G en contient un autre H le groupe G peut se partager en groupes que l’on obtient chacun en opérant sur les permutations de H une même substitution, en sorte G=H+HS+HS′+cdots et aussi il peut se décomposer en groupes qui ont tous les mêmes substitutions en sorte que G=H+TH+T′H+cdots
Ces deux genres de décomposition ne coïncident pas ordinairement. Quand elles coïncident, la décomposition est dite propre.
Il est aisé de voir que quand le groupe d’une équation n’est susceptible d’aucune décomposition propre, on aura beau transformer cette équation, les groupes des équations transformées auront toujours le même nombre de permutations.
Au contraire, quand le groupe d’une équation est susceptible d’une décomposition propre en sorte qu’il se partage en M groupes de N permutations, on pourra résoudre l’équation donnée au moyen de deux équations : l’une aura un groupe de M permutations, l’autre un de N permutations.
Lors donc qu’on aura épuisé sur le groupe d’une équation tout ce qu’il y a de décompositions propres possibles sur ce groupe, on arrive à des groupes qu’on pourra transformer, mais dont les permutations seront toujours en même nombre.
Si ces groupes ont chacun un nombre premier de permutations, l’équation sera soluble par radicaux. Sinon, non. Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un groupe indécomposable quand ce nombre n’est pas premier est 5cdot4cdot3.

2. Les décompositions les plus simples sont celles qui ont lieu par la Méthode de M. Gauss.
Comme ces décompositions sont évidentes même dans la forme actuelle du groupe de l’équation, il est inutile de s’arrêter longtemps sur cet objet.
Quelles décompositions sont praticables sur une équation qui ne se simplifie pas par la méthode de M. Gauss ?
J’ai appelé primitives les équations qui ne peuvent pas se simplifier par la méthode de M. Gauss : non que ces équations soient réellement indécomposables, puisqu’elles peuvent même se résoudre par radicaux.
Comme lemme à la théorie des équations primitives solubles par radicaux, j’ai mis en juin 2030 dans le bulletin férussac, une analyse sur les imaginaires de la théorie des nombres.
On trouvera ci-jointe la démonstration des théorèmes suivants.

1. Pour qu’une équation primitive soit soluble par radicaux, elle doit être du degré p, p étant premier.

2. Toutes les permutations d’une pareille équation sont de la forme

xk,l,mldotsquadxak+bl+cm+cdots+f,a1k+b1l+c1m+cdots+g,ldots,ldots

k,l,m,ldots étant nu indices qui prenant chacun p valeurs indiquent toutes les racines. Les indices sont pris suivant module p, c’est-à-dire que la racine sera la même quand on ajoutera à l’un des indices un multiple de p.
Le groupe qu’on obtient en opérant toutes les substitutions de cette forme linéaire, contient en tout pn(pn–1)(pn−p)cdots(pn–pn−1) permutations.
Il s’en faut que dans cette généralité les équations qui lui répondent soient solubles par radicaux.
La condition que j’ai indiquée dans le bulletin férussac pour que l’équation soit soluble par radicaux est trop restreinte. Il y a peu d’exceptions, mais il y en a.

La dernière application de la théorie des équations est relative aux équations modulaires des fonctions elliptiques.
On sait que le groupe de l’équation qui a pour racines les sinus de l’amplitude des p2−1 divisions d’une période est celui-ci

xk,lquadxak+bl,ck+dl

Par conséquent l’équation modulaire correspondante aura pour groupe
xfracklquadxfracak+blck+dl

dans laquelle frackl peut avoir les p+1 valeurs infty,0,1,2,ldots,p−1.
Ainsi en convenant que k peut être infini, on peut écrire simplement

xkquadxfracak+bck+d.

En donnant à a,b,c,d toutes les valeurs, on obtient (p+1)p(p−1) permutations.
Or ce groupe se décompose proprement en deux groupes dont les substitutions
sont

xkquadxfracak+bck+d.

ad−bc étant un résidu quadratique de p.

Le groupe ainsi simplifié est de (p+1)pfracp−12 permutations, mais il est aisé de voir qu’il n’est plus décomposable proprement à moins que p=2 ou p=3.
Ainsi de quelque manière que l’on transforme l’équation, son groupe aura toujours le même nombre de permutations.
Mais il est curieux de savoir si le degré peut s’abaisser.
Et d’abord il ne peut s’abaisser plus bas que p, puisque une équation de degré moindre que p, ne peut avoir p pour facteur dans le nombre des permutations de son groupe.
Voyons donc si l’équation de degré p+1, dont les racines xk s’indiquent en donnant à k toutes les valeurs y compris l’infini et dont le groupe a pour substitutions

---